先说明
这份资料怎么学
数学分析不是靠“感觉懂了”过关，而是靠卷面上能写出一串合法步骤。遇到题先识别题型，再套本讲义里的入口。
冲刺路线
15 天保及格复习安排
第七章 不定积分：先会凑微分，再会分部积分
不定积分本质是”反过来求导”。考试里它通常不是最难的一章，但会成为后面定积分、重积分、曲线曲面积分的计算底座。
1. 不定积分的本质（必须理解的基础）
层次1 - 定义：如果 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 叫做 $f(x)$ 的原函数，记作：
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$
其中 $C$ 是任意常数。
层次2 - 直观理解：不定积分就是”反求导”。已知导数（变化率），求原来的函数。
层次3 - 考试视角：不定积分题 = 识别题型 + 套公式 + 验算（对结果求导看是否等于被积函数）
基本积分公式（必须背熟，考试直接用）
| 被积函数 | 不定积分 |
| $x^n$ ($n\ne -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x$ ($a>0,a\ne1$) | $\frac{a^x}{\ln a}+C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$ | $\tan x+C$ |
| $\frac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x$ | $-\cot x+C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+C$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x+C$ |
记忆技巧：三角函数积分记住”正余互换带负号”（$\sin$积分是$-\cos$，$\cos$积分是$\sin$）
常见错误警告：
❌ 错误1：$\int x^{-1}dx = \frac{x^0}{0}+C$（幂函数公式不适用于 $n=-1$！）
→ 正确：$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C$
❌ 错误2：忘记加常数 $+C$（不定积分必须有 $+C$）
❌ 错误3：$\int \sin x\,dx = \cos x+C$（忘记负号）
✓ 正确：$\int \sin x\,dx = -\cos x+C$
2. 第一类换元法（凑微分法，最常考）
$$\int f(u)\,du = F(u)+C \quad \Rightarrow \quad \int f[\varphi(x)]\varphi'(x)\,dx = F[\varphi(x)]+C$$
白话翻译：如果看到 $\varphi'(x)$ 藏在被积函数里，就把 $\varphi(x)$ 当成整体。
| 信号特征 | 凑微分策略 | 例子 |
| 分子是分母的导数 | 令 $u=$ 分母 | $\int\frac{2x}{x^2+1}dx$ |
| $x$ 在指数/三角函数里 | 令 $u=$ 指数/三角内容 | $\int 2xe^{x^2}dx$ |
| 复合函数有外层导数痕迹 | 令 $u=$ 内层函数 | $\int\sin x\cos x\,dx$ |
例题 2.1：标准凑微分（分子是分母导数）
题目：求 $\int \frac{x}{1+x^2}\,dx$
完整解答：
- 【识别信号】分母是 $1+x^2$，它的导数是 $2x$，分子有 $x$，这是凑微分的信号。
- 【凑微分】
$(1+x^2)' = 2x$，所以 $x\,dx = \frac{1}{2}d(1+x^2)$
- 【令 $u=1+x^2$】
$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \int \frac{1}{1+x^2}\cdot x\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$
- 【积分】
$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u|+C$$
- 【换回 $x$】
$$= \frac{1}{2}\ln|1+x^2|+C = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$
（因为 $1+x^2>0$，所以绝对值可以去掉）
- 【验算（推荐）】
$\left[\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$ ✓
得分要点：写清凑微分步骤，最后验算，别忘 $+C$
例题 2.2：指数型凑微分（常考）
题目：求 $\int 2x e^{x^2}\,dx$
解答：
- 看到指数 $e^{x^2}$，它的导数需要 $2x$，而题目正好有 $2x$
- 令 $u=x^2$，则 $du=2x\,dx$
- $$\int 2x e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du = e^u+C = e^{x^2}+C$$
例题 2.3：三角函数凑微分
题目：求 $\int \sin x \cos x\,dx$
方法1：令 $u=\sin x$
- $(\sin x)' = \cos x$，正好题目有 $\cos x\,dx$
- $$\int \sin x \cos x\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2}+C = \frac{\sin^2 x}{2}+C$$
方法2：令 $u=\cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$，所以 $\sin x\,dx = -du$
- $$\int \sin x \cos x\,dx = -\int u\,du = -\frac{u^2}{2}+C = -\frac{\cos^2 x}{2}+C$$
疑问：两个答案不一样？
其实是一样的！因为 $\frac{\sin^2 x}{2} = \frac{1-\cos^2 x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\cos^2 x}{2}$
两个答案只差一个常数，都是正确的（不定积分的常数可以不同）。
立即练习
练习1：$\int \frac{1}{2x+1}dx$
点击查看答案
令 $u=2x+1$，$du=2dx$
$$\int \frac{1}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du = \frac{1}{2}\ln|u|+C = \frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$$
练习2：$\int xe^{-x^2}dx$
点击查看答案
令 $u=-x^2$，$du=-2x\,dx$，所以 $x\,dx=-\frac{1}{2}du$
$$\int xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int e^u\,du = -\frac{1}{2}e^u+C = -\frac{1}{2}e^{-x^2}+C$$
3. 分部积分法（乘积型积分必会）
$$\boxed{\int u\,dv = uv - \int v\,du}$$
口诀：”前导后不导，减去积分导”
LIATE 原则：按以下优先级选 $u$（剩下的就是 $dv$）
- Logarithmic - 对数函数（$\ln x$，最优先选为 $u$）
- Inverse trig - 反三角函数（$\arctan x, \arcsin x$）
- Algebraic - 代数函数（$x, x^2, x^3$）
- Trigonometric - 三角函数（$\sin x, \cos x$）
- Exponential - 指数函数（$e^x, a^x$，最后选为 $u$）
白话解释：对数、反三角求导会变简单，优先当 $u$；指数、三角积分不变复杂，优先当 $dv$。
例题 3.1：标准分部积分（$x \cdot e^x$ 型）
题目：求 $\int x e^x\,dx$
完整解答：
- 【识别】这是乘积 $x \cdot e^x$，用分部积分
- 【选择 $u$ 和 $dv$】
按 LIATE：$x$ 是代数（A），$e^x$ 是指数（E），A 排在 E 前面
所以令 $u=x$（代数优先），$dv=e^x\,dx$
- 【求 $du$ 和 $v$】
$du = dx$
$v = \int e^x\,dx = e^x$
- 【代入公式】
$$\int x e^x\,dx = x\cdot e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x+C$$
- 【验算】
$[(x-1)e^x]' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ ✓
考场模板：分部积分必须写清 $u,dv,du,v$ 四个量，然后代公式。
例题 3.2：对数函数分部积分
题目：求 $\int \ln x\,dx$
解答：
- 看起来不是乘积，但可以写成 $\int \ln x \cdot 1\,dx$
- $\ln x$ 是对数（L），优先当 $u$
- 令 $u=\ln x$，$dv=dx$
- 则 $du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$
- $$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$
结论：$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C = x(\ln x - 1)+C$
例题 3.3：两次分部积分
题目：求 $\int x^2 e^x\,dx$
解答：
- 第一次分部：令 $u=x^2$，$dv=e^x\,dx$
$$\int x^2 e^x\,dx = x^2e^x - \int e^x\cdot 2x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$$
- 第二次分部：对 $\int xe^x\,dx$ 再分部（已经做过）
$$= x^2e^x - 2[(x-1)e^x+C_1] = x^2e^x - 2(x-1)e^x + C$$
- 化简：
$$= e^x[x^2 - 2x + 2] + C = (x^2-2x+2)e^x+C$$
规律：$\int x^n e^x\,dx$ 需要分部 $n$ 次，每次 $x$ 的次数降1。
立即练习
练习1：$\int x\sin x\,dx$
点击查看详细解答
- 令 $u=x$，$dv=\sin x\,dx$
- $du=dx$，$v=-\cos x$
- $$\int x\sin x\,dx = -x\cos x - \int (-\cos x)dx = -x\cos x + \sin x + C$$
练习2：$\int \arctan x\,dx$
点击查看提示
提示：把它写成 $\int \arctan x \cdot 1\,dx$，$\arctan x$ 是反三角（I），优先当 $u$
第七章最低要会什么（60分保命清单）
必须100%掌握：
- ✅ 背熟10个基本积分公式
- ✅ 会凑微分（分子是分母导数）
- ✅ 会分部积分（记住LIATE顺序）
- ✅ 不定积分别忘 $+C$
常见失分点：
- ❌ $\int \frac{1}{x}dx$ 用幂函数公式（应该是 $\ln|x|+C$）
- ❌ $\int \sin x\,dx = \cos x+C$（忘记负号）
- ❌ 凑微分系数凑错（$2x\,dx = d(x^2)$ 不需要系数）
- ❌ 分部积分 $u$ 和 $dv$ 选反了
第八章 定积分：面积、累加和牛顿-莱布尼茨
定积分题很适合拿基础分，因为步骤固定：找原函数、代上下限、必要时利用对称性或换元。
最低要会什么
- 会用牛顿-莱布尼茨公式： $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x).$$
- 会定积分换元，知道上下限必须跟着变。
- 会变上限积分求导和奇偶函数积分。
奇偶性速判
若 $f$ 是奇函数，则 $$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.$$
若 $f$ 是偶函数，则 $$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx.$$
变上限积分
若 $$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,$$ 则 $F'(x)=f(x)$。
若上限是 $\varphi(x)$，则 $$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,dt=f(\varphi(x))\varphi'(x).$$
例题：求 $\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$
- 看到 $x^2$ 在指数上，外面有 $2x\,dx$，直接令 $u=x^2$。
- 换上下限：$x=0$ 时 $u=0$，$x=1$ 时 $u=1$。
- $$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx=\int_0^1 e^u\,du=e-1.$$
拿分点：定积分换元后，如果上下限已换成 $u$ 的范围，就不要再换回 $x$。
补充：定积分的深度讲解
$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)}$$
其中 $F'(x)=f(x)$，$F(b)-F(a)$ 记作 $F(x)\Big|_a^b$
例题1：奇函数积分秒杀
题目：计算 $\int_{-2}^{2} x^3\,dx$
解答：$x^3$ 是奇函数，在对称区间 $[-2,2]$ 上积分为 $0$。
技巧：遇到对称区间先判断奇偶性
例题2：变上限积分求导
题目：求 $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt$
解答： $$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt = \sin(x^2)\cdot 2x = 2x\sin(x^2)$$
上限是 $x^2$，要乘链式法则 $(x^2)'=2x$
第八章60分清单
必须掌握：
- ✅ 牛顿-莱布尼茨公式
- ✅ 定积分换元必换上下限
- ✅ 奇函数对称区间=0
- ✅ 变上限求导公式
第十三章 函数列与函数项级数：点态收敛和一致收敛
这一章最容易“听懂但不会写”。保及格重点不是证明很漂亮，而是能分清点态收敛、一致收敛，并会用 Weierstrass 判别法。
最低要会什么
- 点态收敛：对每个固定 $x$，数列 $f_n(x)$ 收敛。
- 一致收敛：存在同一个 $N$，使所有 $x$ 上的误差都小。
- 一致收敛可以保连续、保积分；逐项求导还需要更强条件。
这就是一致收敛的定义。关键字是“同一个 $N$ 管住整个区间”。
例题：证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛
- 先找与 $x$ 无关的上界。因为 $x\in[-1,1]$，所以 $|x^n|\le1$。
- $$\left|\frac{x^n}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}.$$
- 数项级数 $\sum\frac1{n^2}$ 收敛。
- 由 Weierstrass 判别法，原函数项级数在 $[-1,1]$ 上一致收敛。
易错：点态收敛不能直接推出极限函数连续。只有”一致收敛 + 每项连续”才是常用保连续结论。
深度讲解：点态收敛 vs 一致收敛
| 收敛类型 | 定义 | 白话理解 |
| 点态收敛 | 对每个固定 $x$，$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ | ”各点分别收敛”，每个 $x$ 的 $N$ 可以不同 |
| 一致收敛 | $\exists N$（与 $x$ 无关），$\forall n>N$，$\forall x$，$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ | ”整体一起收敛”，一个 $N$ 管住整个区间 |
若 $|u_n(x)|\leq M_n$（与 $x$ 无关），且 $\sum M_n$ 收敛，
则 $\sum u_n(x)$ 在该区间上一致收敛
使用步骤：
- 找一个与 $x$ 无关的上界 $M_n$
- 验证 $\sum M_n$ 收敛（用 $p$ 级数、比值法等）
- 结论：原级数一致收敛
例题2：M-判别法标准应用
题目：证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛
解答：
- 因为 $|\sin nx|\leq 1$，所以 $$\left|\frac{\sin nx}{n^3}\right|\leq\frac{1}{n^3}$$
- 令 $M_n=\frac{1}{n^3}$，$\sum M_n=\sum\frac{1}{n^3}$ 收敛（$p=3>1$）
- 由 M-判别法，原级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛
第十三章60分清单
必须掌握：
- ✅ 理解点态收敛和一致收敛的区别
- ✅ 会用 M-判别法证明一致收敛
- ✅ 记住：一致收敛+连续→极限函数连续
第十四章 幂级数：先半径，再端点
幂级数是期末很稳定的题型。只要你记住“开区间靠半径，端点单独判”，基础分就能拿。
最低要会什么
- 形如 $\sum a_n(x-x_0)^n$ 的级数叫幂级数，$x_0$ 是中心。
- 会用比值法或根值法求收敛半径。
- 在收敛区间内部可逐项求导、逐项积分，收敛半径不变。
若 $L=0$，则 $R=+\infty$；若 $L=+\infty$，则 $R=0$。
例题：求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的收敛域
- 先求半径。这里 $a_n=\frac1n$。
- $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1,$$ 所以 $R=1$。
- 开区间是 $(-1,1)$。
- 查端点：$x=1$ 时为 $\sum\frac1n$，发散；$x=-1$ 时为 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$，条件收敛。
- 收敛域为 $[-1,1)$。
深度讲解：收敛半径和收敛域
| 方法 | 公式 | 适用情况 |
| 比值法 | $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ | 最常用，优先尝试 |
| 根值法 | $R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ | 系数带 $n$ 次方时 |
| 直接观察 | 特殊形式直接看出 | 如 $\sum x^n$（$R=1$） |
- Step 1：求收敛半径 $R$
- Step 2：写出开区间 $(x_0-R, x_0+R)$（中心是 $x_0$）
- Step 3：单独检查两个端点 $x=x_0-R$ 和 $x=x_0+R$
- Step 4：写出收敛域（可能是开区间、半开半闭、闭区间）
例题2：端点都收敛的情况
题目：求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 的收敛域
完整解答：
- 【求半径】 $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$$ 所以 $R=1$
- 【开区间】$(-1,1)$
- 【检查端点】
$x=1$：$\sum\frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$）✓
$x=-1$：$\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ 绝对收敛 ✓
- 【收敛域】$[-1,1]$
常见错误警告：
❌ 忘记检查端点（开区间不等于收敛域）
❌ 端点判断时忘记代入具体值
✓ 正确流程：先算半径→开区间→端点单独判→最终区间
第十四章60分清单
必须掌握：
- ✅ 会用比值法求收敛半径
- ✅ 端点必须单独检查
- ✅ 记住：逐项求导/积分，半径不变
第十五章 傅里叶级数：系数公式和奇偶性
傅里叶题不要怕，考试通常只要求你按公式算系数。先判断奇偶性，能少算一半。
偶函数
$f(-x)=f(x)$，则 $b_n=0$，傅里叶级数只含常数项和余弦项。
奇函数
$f(-x)=-f(x)$，则 $a_0=a_n=0$，傅里叶级数只含正弦项。
例题思路：求 $f(x)=x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的傅里叶级数
- $f(x)=x$ 是奇函数，所以 $a_0=0,\ a_n=0$。
- 只算 $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin nx\,dx.$$
- 分部积分：令 $u=x,\ dv=\sin nx\,dx$，则 $v=-\frac{\cos nx}{n}$。
- 可得 $$b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.$$
- 所以 $$x\sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx.$$
第十九章 含参量积分：先看谁是变量
含参量积分题最常问：能不能把极限、导数、积分和参数交换。计算题常用“对参数求导”。
最低要会什么
- 若 $F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$，要讨论 $F$ 的连续性、可导性。
- 积分号下求导要说明条件，不能直接乱换。
- 遇到难积分，可以引入参数，把难题变成可导函数。
考试写法：在偏导连续或满足一致控制条件时，可在积分号下求导。
例题套路：设 $I(a)=\int_0^1\frac{x^a-1}{\ln x}\,dx$，求 $I(a)$
- 直接算很难，因为分母有 $\ln x$。对参数 $a$ 求导。
- $$I'(a)=\int_0^1 x^a\,dx=\frac1{a+1}.$$
- 积分回去： $$I(a)=\ln(a+1)+C.$$
- 代 $a=0$，有 $I(0)=0$，所以 $C=0$。
- 答案：$I(a)=\ln(a+1)$。
第二十章 曲线积分：第一型看弧长，第二型看方向
曲线积分的万能钥匙是参数化。第一型用 $ds$，第二型用 $dx,dy,dz$，第二型方向会影响符号。
第一型曲线积分
$$\int_L f(x,y)\,ds.$$ 参数化 $x=x(t),y=y(t)$ 后， $$ds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.$$
第二型曲线积分
$$\int_L P\,dx+Q\,dy.$$ 参数化后 $dx=x'(t)\,dt,\ dy=y'(t)\,dt$。方向反了，积分值变号。
例题：$L:x=t,y=t,0\le t\le1$，求 $\int_L(x+y)\,ds$
- 这是第一型曲线积分，因为有 $ds$。
- $x'=1,y'=1$，所以 $$ds=\sqrt{1^2+1^2}\,dt=\sqrt2\,dt.$$
- $x+y=2t$。
- $$\int_L(x+y)\,ds=\int_0^1 2t\sqrt2\,dt=\sqrt2.$$
第二十一章 重积分：先画区域，再写上下限
重积分最怕不画区域。你不需要把图画得漂亮，但必须知道外层变量从哪到哪，内层变量从哪条曲线到哪条曲线。
最低要会什么
- 二重积分：会直角坐标、极坐标、换序。
- 三重积分：会柱坐标、球坐标的基本面积元/体积元。
- 圆、扇形、圆环优先极坐标。
例题：$D:x^2+y^2\le1$，求 $\iint_D1\,dA$
- 区域是单位圆，用极坐标最简单。
- 范围：$0\le r\le1,\ 0\le\theta\le2\pi$。
- $$\iint_D1\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\,dr\,d\theta =\int_0^{2\pi}\frac12\,d\theta=\pi.$$
拿分点：极坐标的 $r$ 不能漏，漏了整题基本就错。
第二十二章 曲面积分：第一型看面积，第二型看法向
曲面积分是曲线积分的空间版。第一型关注 $dS$，第二型关注方向和法向量，闭曲面题常考虑 Gauss 公式。
第一型曲面积分
$$\iint_S f(x,y,z)\,dS.$$ 若 $S:z=z(x,y)$，则 $$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy.$$
第二型曲面积分
$$\iint_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy.$$ 方向反了积分变号。闭曲面优先想 Gauss 公式。
例题：$S:z=x+y$ 在区域 $0\le x\le1,0\le y\le1$ 上方，求 $\iint_S1\,dS$
- 这是第一型曲面积分。
- $z_x=1,z_y=1$，所以 $$dS=\sqrt{1+1^2+1^2}\,dx\,dy=\sqrt3\,dx\,dy.$$
- $$\iint_S1\,dS=\int_0^1\int_0^1\sqrt3\,dx\,dy=\sqrt3.$$
考场救命
题型模板库
收敛域题
- 先用比值法/根值法求 $R$。
- 写出开区间 $|x-x_0|
- 端点代回原级数，不要凭感觉。
一致收敛证明
- 写 $\left|u_n(x)\right|\le M_n$。
- 证明 $\sum M_n$ 收敛。
- 由 Weierstrass 判别法得一致收敛。
傅里叶展开
- 先判断奇偶性。
- 写 $a_0,a_n,b_n$ 公式。
- 代回 $\frac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。
曲线积分
- 先参数化曲线。
- 第一型算 $ds$，第二型换 $dx,dy$。
- 第二型必须确认方向。
二重积分换序
- 画区域。
- 找交点。
- 换外层变量，按图重新读上下限。
曲面积分
- 第一型看 $dS$。
- 第二型看法向方向。
- 闭曲面先考虑 Gauss 公式。
最后一晚
考前速查公式
| 模块 | 必须背的式子 | 提醒 |
|---|---|---|
| 分部积分 | $$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$ | 乘积题常用，减号别丢。 |
| 变上限 | $$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\,dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)$$ | 上限有函数时要乘导数。 |
| 幂级数 | $$R=\frac1{\lim|a_{n+1}/a_n|}$$ | 端点必须单独查。 |
| 傅里叶 | $$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$$ | 奇偶性先判断。 |
| 极坐标 | $$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ dA=r\,dr\,d\theta$$ | $r$ 不能漏。 |
| 第一型曲线积分 | $$ds=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt$$ | 与方向无关。 |
| 曲面 $z=z(x,y)$ | $$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy$$ | 第一型常用。 |